Derivada por su definición

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo. (Texto sacado de wikipedia)

La derivada usando su definición tiene una formula, la cual, en realidad es simplemente un límite de indeterminada 0/0.. Existen formulas para hacer las derivadas, y son derivadas inmediatas.. pero si desconocemos la formula siempre podremos recurrir a su definición

.La formula principal es ; 

¿Qué significa esto? Bien, significa, que si nos piden calcular la derivada de una función, tendremos que poner esa función, pero, cuando lleguemos a la incógnita 'x' tendremos que poner +h a partir de ahí, es solo resolver el límite y dará el resultado de la función prima. Es decir, la derivada.

Bueno, imaginemos que nos piden hallar la derivada de una función por ejemplo ;

Aplicamos la formula, recordando que, donde hay una x, se pondrá +h.

¡Voila! Derivada resuelta, por si algún despistado se ha perdido, recordamos, que es importante saber las identidades notables.. 3(x+h)^2 = 3x^2+3h^2+6xh Recordad que.. (a+b)^2=a^2+b^2+2ab.. Para salvar el límite recordad, que si tenemos h dividiendo, como la h tiende a 0, n/0 = infinito. Tenemos que quitar esa H de ahí, ¿Cómo? Sencillo, sacando factor común, cabe destacar que si.. en el numerador, nos quedan términos que no tienen h, el ejercicio esta mal hecho.

Recordad también que es por definición, aunque existe una formula más fácil que dice lo siguiente.

K es un número cualquiera.

X Es la incognita

N Es el grado al que esta elevado x

De modo que si tenemos y, la derivada será y'

Es decir ;

Es decir, 6x, lo mismo que nos dio, haciendo la definición, cabe destacar, que para hacer derivadas por formulas necesitas memorizar un montón de formulas, mientras que si las haces por la definición, solo necesitarías saber esa formula. Es importante que sepáis hacerlas de las dos maneras, porque si no, una derivada que podría llevarte medio segundo por formula, podría llegar a llevarte casi 2minutos por definición.. y creáis o no, eso se aprecia.

Limite haciendo la definición

Bueno anteriormente explicamos como se hacían los límites por definición, no me tomaré la molestia en explicarlo, e intentaré ir rápido, si tenéis dudas podéis dejarlo en los comentarios.. haremos un límite sencillo..

Demostramos que δ=3ε/2 Si os fijáis , sacamos factor común al 2 para llegar a x-1.. recordad que se pueden sacar multiplicaciones y divisiones POSITIVAS del valor absoluto, y pasarlo a épsilon...

Cramer ('Formula') Sistema De Ecuaciones.

Hay muchas formulas, para resolver los sistemas de ecuaciones, gauss, más conocido como reducción, sustitución, igualación, la regla de cramer... pero ... ¿Alguna vez hemos tenido en cuenta su formula?
Un sistema tiene una formula determinada, al igual que una ecuación cuadrática.. tiene la formula de Ax^2+bx+c=0 Los sistemas tienen su propia formula.. Los sistemas son cálculos lineales.
Lo que significa que simplemente tendrán 1 única solución, están los sistemas no lineales (Los cuales tienen más de una solución) Bueno, explicaremos ''la formula'' y lo digo entre comillas, porque no es la correcta, pero es una forma de daros a entender como sería de la regla de cramer.

Bueno, partimos de la base de que, 'x' e 'y' son las incógnitas. 'a', 'b', 'c', 'd' los coeficientes de las incógnitas. N1 y N2 Los términos independientes. De modo que, se hace una matriz colocando los coeficientes de las incógnitas en el orden del sistema.


Tenemos que tener en cuenta que,  ∆s es la matriz del sistema, y nunca puede ser 0, si fuese 0 significaría que no es lineal y que por lo tanto tiene más de una solución. ya vimos como se calculaban los determinantes de las matrices.. en cruz, La primera cruz menos la segunda cruz (Los de 2x2 claro) Entonces podemos observar como ∆s = (a*d)-(c*b) = Det(S)


Pero.. esa matriz es la del sistema, para hacer la matriz de x o de y, se debe sustituir, los coeficientes de la incógnita que necesitemos descifrar. por el termino independiente, de modo, que , si queremos saber el determinante de x, debemos sustituir a y c por n1 y n2 Lo mismo sucede con La determinante de Y


De modo que.. una vez calculamos los determinantes de; Det(s) Det(x) y Det(y) Solo nos queda hallar el resultado sabiendo.. que el resultado será de dividir Det(n)/Det(s) Dónde N es la incógnita que querremos descifrar, en este caso x e y...

Limites por definición

Limites por definición , la formula básica es ;

Límite cuando x tiende al numero "a" de una funcion f(x) es igual a "L" si para todo EPSILON mayor que 0, existe DELTA mayor que 0 tal que, si |x-a| es menor que DELTA entonces |f(x)-L| es menor que ÉPSILON.


Se trata de demostrar, que entre la tendencia de la 'x' y la función y resultado del límite hay algo en común.
imaginemos que tenemos el siguiente límite ; 

Aplicamos la formula, recordando que |x-a| A es la tendencia de x es decir 1. |f(x)-L| Es la función menos el resultado es decir el límite..

Mucha atención apartir de la formula |f(x)-L| hay que llegar a |x-a| Teniendo en cuenta que del valor absoluto se puede sacar unicamente divisiones y nunca negativas, y pasarlas a epsilon multiplicando.

De modo que ; 

Si os fijáis, necesitábamos llegar al x-1 y para ello hemos quitado el 2 que dividía y ha pasado a Epsilon multiplicando..  Solo queda establecer la conexión entre Delta y Epsilon de la siguiente manera..

Resolución de límites (II)

Ya vimos límites, sin indeterminaciones, pero compliquemoslo un poco...

Primero que todo, qué son las indeterminaciones.. es algo, que produce un atasco e impide que sigamos con la resolución del límite, cada indeterminación es única, y posee una forma especial para salir de ese 'atasco'

Las indeterminaciones más sencillas son las siguientes ;

Por si las moscas, el símbolo del 8 al revés es 'infinito'.. Bueno dicho esto veamos la peculiaridad de éstas..
Empezamos por el orden por el cual están colocadas.

En limites hay que tener una cosa en cuenta 'Siendo n un número' ;

Cualquier número, dividido entre 0 dará infinito, y cualquier número dividido entre infinito, dará 0.
 ¡MUY IMPORTANTE! Y Ahora empezamos con las indeterminadas...

INFINITO MENOS INFINITO


Infinito menos infinito, tenemos que pensar, que el infinito es un número muuuy grande.. tanto que pronunciarlo nos llevaría casi horas de lo grande que es ¿Bien? entonces, nos dan la siguiente función en la que x tiende a infinito, y nos piden resolver el límite ;

¿Cómo se resuelve? muy fácil, se sustituye infinito en x, Y después se mira que infinito es mayor, es decir, infinito elevado al cuadrado es infinito menos infinito el resultado será infinito. ¿Por qué? porque gana el infinito al cuadrado y es positivo.

CERO ENTRE CERO

Si sustituimos las 'x' por la tendencia (el 1) vemos que nos da 0/0 es decir, una indeterminación. ¿Y cómo se resuelve? Simplemente se factoriza por ruffini , lo bueno es que no hay que comerse el tarro buscando los múltiplos del termino independiente, ya que como la x tiende a 1, ruffini siempre será 1.

Recordamos que el resultado pertenece a un grado menos es decir, x^2 + x^1 + 1. Al polinomio del denominador también se le debe aplicar ruffini pero es evidente y salta a simple vista que es 1. Por eso no me tomaré la molestia en hacer ruffini. Una vez tengamos los resultados lo que se hace es lo siguiente, Atención ; La tendencia de un límite se demuestra como x -> a  Dónde a es un número o un concepto.
de modo que en el numerador y el denominador se expone su opuesto multiplicando al resultado de ruffini es decir (x-a) Dónde a, es el número.. Por ultimo se simplifica y se sustituye otra vez por 1. (Si diese 0 de nuevo, se repite el proceso)

INFINITO ENTRE INFINITO


Realmente infinito entre infinito es algo que se hace momentáneamente, el único problema, al menos aquí en España, los profesores  de 4º ESO piden la verdadera formula y no el atajo, Explicaré las dos.

Comprobamos que el resultado es Infinito entre infinito, de modo que para resolver esta indeterminación, debemos hacer lo siguiente ; Buscamos la x de mayor grado en toda la función.. y después dividimos todos los números entre esa x de mayor grado y se resuelve.

Recordad, que si no sustituis, se debe seguir poniendo lim cuando x tiende a tal, hay profesores que bajan nota por eso, y recordad también que un número dividido entre infinito es cero.

Sin embargo.. esta formula es una perdida de tiempo, aunque obligan aplicarla, hay un truco que dice así ;

Si G(n)>G(d) = Infinito
Si G(n)<G(d) = Cero
Si G(n) = G(d) = Se dividen los coeficientes de las x de mayor grado y ese será el resultado.

Esto quiere decir, que si el grado del numerador es mayor que el del denominador el limite será siempre infinito.. si el grado del numerador es más pequeño que el del denominador el límite será siempre cero, pero si son iguales se dividen los coeficientes de las x de mayor grado y ese será el resultado. Mucho más practico, menos complicado y más rápido.

1 ELEVADO A INFINITO.

Bueno, hay que tener en cuenta que la indeterminación  uno elevado a infinito, no es solo una indeterminación si no que en el 99% de los casos son dos, la susodicha y, infinito entre infinito.

Hay dos formas muy comunes para hacerlas, cabe destacar que la indeterminada se hace con el número 'e' un número que al igual que pi, tiene decimales infinitos.. 2.71.... etc... etc...

Las formulas para hacerlas son las siguientes ;

Es un poco complicada y pesada.. pero la formula explica, que si tenemos 1 + 1 partido de una función, y todo eso, elevado a la misma función el resultado será 'e'.. No explicaré está formula pero podéis ver vídeos de la página www.unicoos.com cuyo profesor es magnífico, y no tiene desperdicio alguno verlo.

La siguiente formula es ;

Esta formula, explica, que siendo g la función exponencial multiplicado por la funcion menos 1, será igual a e elevado al limite, Sin duda mucho más cómodo , dónde va a parar...

Tenemos ese limite, comprábamos que da 1 elevado a infinito.(Nota; En realidad da  Infinito/infinito elevado a infinito, ya advertí de que suele tener más de 2 indeterminaciones , si calculamos la indeterminación de esta, nos dará 1 elevado infinito) Aplicamos la formula.. y simplemente calcular.. seguramente de otra indeterminada de infinito entre infinito, solo habrá que calcularla

Resolución de limites (I)

En ocasiones nos dan una función y nos mandan resolver el límite.. pero.. seamos sinceros ¿Qué es el límite? Pues el límite es aquello que estudia como actúa la función cuando tienden sobre un determinado valor, con estos se puede deducir la convergencia, continuidad, derivación, integración.. etc

Los límites a primera vista son fáciles, pero con el tiempo se terminan complicando debido a que en ocasiones si no existiese un polinomio, habría que aplicar derivadas, y por otra parte existen bastantes indeterminadas que dan dolor de cabeza..

Como se halla ese límite, bueno, como veis nos dicen que la 'x' tiende a 1, por lo tanto, lo que debemos hacer es cambiar las x por el número al que tiende, y resolverlo, ¡Voila! Hallaremos su resultado..

Pero insisto, los límites no serán tan fáciles... Por que la mayoría de las veces vienen acompañados de indeterminaciones...

Regla de Ruffini

Otra vez con la regla de ruffini, pero está vez para descubrir el valor de 'x' (En este caso) Con ecuaciones de tercer, cuarto, quinto o más grados...

Bien, primero se debe igualar a 0..

Una vez, igualado a 0, del termino independiente, vamos a calcular todos sus multiplos tanto negativos, como positivos, excepto decimales.. (Los decimales serian infinitos y es por eso, que conseguir decimal en ruffini es prácticamente imposible) Decimales de -24 Son ( 1, -1, 2, -2 , 3, -3 , 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, - 12, 24, -24)
y ahora se aplica ruffini con todos, hasta conseguir que el resultado de la última suma de 0.

Vemos que el resultado no es 0, y por lo tanto, no es el número 1, seguimos probando con el resto de números, en esta ocasión, es evidente que yo sé que número es, así que vamos al grano.

¡ Voila ! Ejercicio resuelto, X es 2, pero ojo.. A veces la X puede tener más de una solución. En este caso es aconsejable asegurarse, y seguir probando con todos los múltiplos, aun que si el ejercicio no te pide más que una solución, es evidente, que no hay que perder el tiempo. 


Cabe tener en cuenta que si TODOS los coeficientes del polinomio son positivos, entonces nunca debes probar a resolver Ruffini con números positivos, ya que no sirven. Por ejemplo, si fuese , no deberías probar Ruffini con , deberías probar directamente con los negativos. 

Regla de Ruffini (División Polinomica)

Primero que todo.. saber que es la Regla de Ruffini.. , Ruffini es un método 'moderno' de dividir polinomios, de una forma más sencilla, por otra parte, no solamente sirve para dividir, si no que también para factorizarlos, lo cual para los límites viene de lujo.

La división entre polinomios debe cumplir la siguiente condición. El polinomio debe estar, en orden de mayor grado a menor grado, es decir, decreciente, y si faltase algún grado, se pondría un 0. Solo se puede dividir entre 'x-n' o 'x+n' Siendo 'n' un número.

Ruffini consiste en lo siguiente , Tenemos el polinomio y debemos dividirlo ;

Trazamos dos lineas, una horizontal y otra vertical y colocamos los coeficientes, de mayor a menor grado, recordando que si faltase alguno se pone un 0.

Ahora, veamos, nos piden dividir por -3, por lo tanto, pasa al otro lado sumando, es decir +3.

Y ahora, mucha atención, se baja la primera cifra, en este caso el uno, y se multiplica por tres, el resultado se pone debajo del 0, se suma, y se multiplica por tres.. y así sucesivamente, el objetivo es conseguir al final 0.

Siempre el coeficiente debe dar 0. Ahora mucha atención.. (Más que antes) El resultado, en este caso
1, 3, 9, Pertenecen a el polinomio anterior, solo que un grado menos. Es decir, El número 1, pertenece a x²
el tres a 3x y el 9 al termino independiente.


Entonces se expresa de la siguiente manera..

(x³-27) : (x-3) = x² + 3x + 9

Y esa sería la división del polinomio, cabe destacar, que sacar el resultado de una valor de x através de ruffini, si el valor es decimal, prácticamente es imposible.