Resolución de límites (II)

Ya vimos límites, sin indeterminaciones, pero compliquemoslo un poco...

Primero que todo, qué son las indeterminaciones.. es algo, que produce un atasco e impide que sigamos con la resolución del límite, cada indeterminación es única, y posee una forma especial para salir de ese 'atasco'

Las indeterminaciones más sencillas son las siguientes ;

Por si las moscas, el símbolo del 8 al revés es 'infinito'.. Bueno dicho esto veamos la peculiaridad de éstas..
Empezamos por el orden por el cual están colocadas.

En limites hay que tener una cosa en cuenta 'Siendo n un número' ;

Cualquier número, dividido entre 0 dará infinito, y cualquier número dividido entre infinito, dará 0.
 ¡MUY IMPORTANTE! Y Ahora empezamos con las indeterminadas...

INFINITO MENOS INFINITO


Infinito menos infinito, tenemos que pensar, que el infinito es un número muuuy grande.. tanto que pronunciarlo nos llevaría casi horas de lo grande que es ¿Bien? entonces, nos dan la siguiente función en la que x tiende a infinito, y nos piden resolver el límite ;

¿Cómo se resuelve? muy fácil, se sustituye infinito en x, Y después se mira que infinito es mayor, es decir, infinito elevado al cuadrado es infinito menos infinito el resultado será infinito. ¿Por qué? porque gana el infinito al cuadrado y es positivo.

CERO ENTRE CERO

Si sustituimos las 'x' por la tendencia (el 1) vemos que nos da 0/0 es decir, una indeterminación. ¿Y cómo se resuelve? Simplemente se factoriza por ruffini , lo bueno es que no hay que comerse el tarro buscando los múltiplos del termino independiente, ya que como la x tiende a 1, ruffini siempre será 1.

Recordamos que el resultado pertenece a un grado menos es decir, x^2 + x^1 + 1. Al polinomio del denominador también se le debe aplicar ruffini pero es evidente y salta a simple vista que es 1. Por eso no me tomaré la molestia en hacer ruffini. Una vez tengamos los resultados lo que se hace es lo siguiente, Atención ; La tendencia de un límite se demuestra como x -> a  Dónde a es un número o un concepto.
de modo que en el numerador y el denominador se expone su opuesto multiplicando al resultado de ruffini es decir (x-a) Dónde a, es el número.. Por ultimo se simplifica y se sustituye otra vez por 1. (Si diese 0 de nuevo, se repite el proceso)

INFINITO ENTRE INFINITO


Realmente infinito entre infinito es algo que se hace momentáneamente, el único problema, al menos aquí en España, los profesores  de 4º ESO piden la verdadera formula y no el atajo, Explicaré las dos.

Comprobamos que el resultado es Infinito entre infinito, de modo que para resolver esta indeterminación, debemos hacer lo siguiente ; Buscamos la x de mayor grado en toda la función.. y después dividimos todos los números entre esa x de mayor grado y se resuelve.

Recordad, que si no sustituis, se debe seguir poniendo lim cuando x tiende a tal, hay profesores que bajan nota por eso, y recordad también que un número dividido entre infinito es cero.

Sin embargo.. esta formula es una perdida de tiempo, aunque obligan aplicarla, hay un truco que dice así ;

Si G(n)>G(d) = Infinito
Si G(n)<G(d) = Cero
Si G(n) = G(d) = Se dividen los coeficientes de las x de mayor grado y ese será el resultado.

Esto quiere decir, que si el grado del numerador es mayor que el del denominador el limite será siempre infinito.. si el grado del numerador es más pequeño que el del denominador el límite será siempre cero, pero si son iguales se dividen los coeficientes de las x de mayor grado y ese será el resultado. Mucho más practico, menos complicado y más rápido.

1 ELEVADO A INFINITO.

Bueno, hay que tener en cuenta que la indeterminación  uno elevado a infinito, no es solo una indeterminación si no que en el 99% de los casos son dos, la susodicha y, infinito entre infinito.

Hay dos formas muy comunes para hacerlas, cabe destacar que la indeterminada se hace con el número 'e' un número que al igual que pi, tiene decimales infinitos.. 2.71.... etc... etc...

Las formulas para hacerlas son las siguientes ;

Es un poco complicada y pesada.. pero la formula explica, que si tenemos 1 + 1 partido de una función, y todo eso, elevado a la misma función el resultado será 'e'.. No explicaré está formula pero podéis ver vídeos de la página www.unicoos.com cuyo profesor es magnífico, y no tiene desperdicio alguno verlo.

La siguiente formula es ;

Esta formula, explica, que siendo g la función exponencial multiplicado por la funcion menos 1, será igual a e elevado al limite, Sin duda mucho más cómodo , dónde va a parar...

Tenemos ese limite, comprábamos que da 1 elevado a infinito.(Nota; En realidad da  Infinito/infinito elevado a infinito, ya advertí de que suele tener más de 2 indeterminaciones , si calculamos la indeterminación de esta, nos dará 1 elevado infinito) Aplicamos la formula.. y simplemente calcular.. seguramente de otra indeterminada de infinito entre infinito, solo habrá que calcularla