Derivada por su definición

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo. (Texto sacado de wikipedia)

La derivada usando su definición tiene una formula, la cual, en realidad es simplemente un límite de indeterminada 0/0.. Existen formulas para hacer las derivadas, y son derivadas inmediatas.. pero si desconocemos la formula siempre podremos recurrir a su definición

.La formula principal es ; 

¿Qué significa esto? Bien, significa, que si nos piden calcular la derivada de una función, tendremos que poner esa función, pero, cuando lleguemos a la incógnita 'x' tendremos que poner +h a partir de ahí, es solo resolver el límite y dará el resultado de la función prima. Es decir, la derivada.

Bueno, imaginemos que nos piden hallar la derivada de una función por ejemplo ;

Aplicamos la formula, recordando que, donde hay una x, se pondrá +h.

¡Voila! Derivada resuelta, por si algún despistado se ha perdido, recordamos, que es importante saber las identidades notables.. 3(x+h)^2 = 3x^2+3h^2+6xh Recordad que.. (a+b)^2=a^2+b^2+2ab.. Para salvar el límite recordad, que si tenemos h dividiendo, como la h tiende a 0, n/0 = infinito. Tenemos que quitar esa H de ahí, ¿Cómo? Sencillo, sacando factor común, cabe destacar que si.. en el numerador, nos quedan términos que no tienen h, el ejercicio esta mal hecho.

Recordad también que es por definición, aunque existe una formula más fácil que dice lo siguiente.

K es un número cualquiera.

X Es la incognita

N Es el grado al que esta elevado x

De modo que si tenemos y, la derivada será y'

Es decir ;

Es decir, 6x, lo mismo que nos dio, haciendo la definición, cabe destacar, que para hacer derivadas por formulas necesitas memorizar un montón de formulas, mientras que si las haces por la definición, solo necesitarías saber esa formula. Es importante que sepáis hacerlas de las dos maneras, porque si no, una derivada que podría llevarte medio segundo por formula, podría llegar a llevarte casi 2minutos por definición.. y creáis o no, eso se aprecia.