Sistemas por método cramer.

Primero que todo, para saber hacer el método de cramer es necesario saber como se hacen las determinadas. Más abajo hay ejemplos de como se calcula la determinada.

Para poder hacer sistemas de ecuaciones por método cramer es necesario que sea del tipo SCD (Una única solución) Si una determinada, diese 0, el sistema sería nulo. y no sería del tipo SCD

Ejemplo:

Tenemos ese sistema de 3x3 y lo qué haremos es sacar la determinada. De Δs, Δx, Δy y Δz
Para ello lo primero que haremos será sacar la determinada de ΔS (S=Sistema) Ponemos los coeficientes de cada incognita y sacamos la determinada.

Apartir de ahora atención. Cuando saquemos la determinante de una incógnita, la columna de esa incógnita se sustituye por las independientes. Ahora calculemos. Δx

Si os fijáis, la columna de las X ha sido cambiada por los coeficientes del termino independiente. Bien una vez calculado Δx calculamos Δy.

Como se puede apreciar, la columna de la Y a sido cambiado por el termino independiente. Ahora solo queda sacar la determinada de Δz

Misma forma, columna de z cambiada por el termino independiente. Ahora solamente queda 

hallar las incógnitas. ¿Cómo hacemos eso? Muy fácil, cramer explica, que.. ΔIncognita/Δs Es igual al resultado de la incógnita. Lo único que tenemos que hacer es. Dividir el resultado de las incógnitas entre el determinante de sistema.

Y este es el resultado de todo el sistema. A través de unas simples determinadas. Sinceramente pienso que El método de cramer es mucho más fácil que el método de gauss o el metodo de sustitución.

Hallar determinantes de 3x3

¿Os acordáis de como se hacían los de 2x2? Pues los de tres es igual, solo que con un pequeño truquito.

Ejemplo:

Lo que haremos será lo siguiente, copiar la F1 y F2 debajo de la F3 (En el orden mencionado) Nota. F-> Fila.

Una vez hemos hecho esto, multiplicamos en linea, las tres primeras filas.

Ahora hacemos lo mismo, pero a la inversa, es decir, multiplicamos de derecha a izquierda en forma lineal.

Lo expresamos con Det(A) = (1·9·4+5·8·3+7·6·2)-(3·9·7+2·8·1+4·6·5)

Conclusión ; Det(A) = -85

Hallar determinantes de 2x2

Una sencilla introducción de como hallar determinantes de 2x2.


Ejemplo ; 

¿Cómo calculamos la determinante de A? Muy fácil, se multiplica en diagonal. Es decir:

Ahora calculamos la siguiente diagonal. de modo que la primera diagonal reste a la segunda diagonal

Por último calculamos.

Por lo tanto el determinante de A es 1.

Sistema de ecuaciones con cuatro incógnitas. Método GAUSS

Bueno, el método de Gaus es algo que por texto es difícil de explicar, por eso he buscado un vídeo en el cual se vea bien como funciona este método. Aclaro, No es mi vídeo. El vídeo pertenece a 'Unicoos' una de las mejores páginas que puede haber sobre matemáticas. (No solo por contenido, si no por la expresión de éste señor)

Bueno, aquí os dejo el vídeo :

Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

En el anterior tema explicamos como se hacían los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, ahora lo haremos con tres incógnitas, es necesario saber como se hace las de dos incógnitas para hacer las de tres.

Ejemplo : 

Tenemos este sistema, lo primero que tenemos que hacer es, ir de esas tres ecuaciones a la más fácil, en este caso ''x + y - z = 1'' y despejamos la 'x'

Ahora en las otras dos ecuaciones sustitumos 'x' por el valor que tiene es decir ''para x = -y + z + 1''

Ahora hacemos el calculo, de modo que nos queda un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas.

Una vez hemos hallado el sistema de ecuaciones de dos incógnitas lo resolvemos, y sacamos el valor de 'x' y de 'y'

                                             
Una vez hemos hallado el valor de 'x' y de 'y' volvemos a la ecuación primera en la que despejamos.
Es decir 'x=-y+z+1' Sustituimos hacemos la ecuación resultante y sabremos el valor de 'x'

Y listo, ya tenemos los valores que le corresponde a cada incógnita.


X = -4
Y = 6
Z = 1

Sistema de ecuaciones de dos incógnitas.

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

- Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones, con dos o más incógnitas cuya finalidad es saber el valor de éstas para resolver el problema.

Dicho esto, vamos a la práctica , imaginemos que tenemos el siguiente sistema :

¿Cómo la resolvemos? 


Hay varios métodos pero solo usaremos dos.
Método de sustitución y Método de sustitución por reducción

Método de sustitución :

Primer paso, despejamos una letra la que queramos de la ecuación que queramos. en este caso despejaremos 'X'

Segundo paso, vamos a la ecuación opuesta a donde sustituimos, en este caso es ''x - y = 60''
y cambiamos el valor de x por su valor que dijimos antes ''x = -y+80''

Y ahora resolvemos la ecuación.

Ya tenemos el valor de 'y' que es 10, pero nos falta sacar el valor de 'x' ¿Cómo lo hacemos?
Sencillo vamos a la ecuación que despejamos antes 'x=-y+80' y sustituimos la y por su valor que es 10.

La conclusión que obtenemos es que el valor de
X es 70
Y es 10.

Comprobamos -> x + y = 80
Para x ; 70
Para y ; 10

70+10 = 80
Correcto.

Método de reducción sustitución ; 

El método de reducción consiste en lo siguiente, hay que conseguir que una incógnita de una ecuación tenga los mismos coeficientes y incógnita positivo mientras que en la otra ecuación tiene la misma pero en negativo. ¿Cómo hacemos eso? Se multiplica por un número a la ecuación de modo que de  mismo coeficiente y misma incógnita positivo y en la otra negativo. En este caso multiplicaremos la ecuación de arriba por '-1'

Ahora sumamos las dos ecuaciones.. ¿Qué pasa al sumar -x + x? Se eliminan.

Una vez hecho esto ya tenemos el valor de y = 20 (Si por ejemplo el resultado fuese 2y=20 se haría la ecuación y = 20/2 -> y = 10, Pero no es el caso) nos falta saber el valor de 'x' así que, vamos a la ecuación que queramos de las dos y sustituimos y por su valor y hacemos la ecuación.

Y así de fácil se resuelven los sistemas de ecuaciones de dos incógnitas.

Probabilidad de..

Esto es una forma de jugar con la probabilidad.
Estoy seguro de que vuestro tutor cambia los asientos de clase cada 'x' tiempo. Y a veces, os toca alante y otras atrás, y yo sé lo que es estar alante, bastante molesto que este el profesor todo el rato observándote.

Entonces un día aburrido dije, ¿Por qué no calculamos la probabilidad de estar alante o atrás?

Recordemos la formula de la probabilidad.

P(A) = Número de sucesos favorables / Número de sucesos totales * 100

Primero que todo ¿Cuántas mesas hay atrás?
Imaginemos un chico normal y corriente, y en su clase hay 4 filas. Por lo tanto hay 4 mesas atrás
imaginemos que hay un total de 14 mesas. ¿Cuál es la probabilidad de estar atrás del todo?

P(A) = 4/14 = 0'285 = 28.5%


Bien la probabilidad de estar atrás del todo es de 28.5%


Ahora queremos hallar la probabilidad de estar con algún amigo sentados juntos. Teniendo en cuenta que las mesas van de dos en dos. por lo tanto.


Si hay 14 mesas hay 14 alumnos, eliminamos 1 alumno, ¿Por qué? Sencillo, 1 de esos alumnos seremos nosotros, por lo tanto lo eliminamos. Ahora imaginemos que al chico este, le cae bien 10 personas de 13.


¿Cuánto es la probabilidad de estar con una de esas 10 personas?


P(E) = 10/13 = 0'769 = 76.9%


La probabilidad de estar con algún amigo es de 76.9%


Y ahora hagamos lo algo más difícil  ¿Cuál es la probabilidad de estar atrás y a su vez con esa persona que es nuestra amiga?


Multiplicamos terminos independientes ; 
 P(A) · P(E) = 4/14 · 10/13 = 40/182 = 0'219 = 21.9%


La probabilidad de estar sentados atrás y con alguien que nos cae bien es del 21.9%


1) ¿Cuál es la probabilidad de estar atrás y con alguien que nos cae bien?
2) ¿Cuál es la probabilidad de estar atrás y con alguien que nos cae mal?
3) ¿Cuál es la probabilidad de estar alante y con alguien que nos cae bien?
4) ¿Cuál es la probabilidad de estar alante y con alguien que nos cae mal?


Hay que conocer los siguientes valores.
P(A) ; Probabilidad de tocarnos atrás 
P(Â) ; Probabilidad de tocarnos alante
P(E) ; Probabilidad de estar con quien nos cae bien
P(Ê) ; Probabilidad de estar con quien nos cae mal


P(A) = 4/14 = 0'285 = 28.5% 

P(Â) = 10/14 = 0'714 = 71.4%
P(E) = 10/13 = 0'769 = 76.9% 

P(Ê) = 3/13 = 0'230 = 23%

P(A) · P(E) =  4/14 · 10/13 = 40/182 = 0'219 = 21.9% 
P(A) · P(Ê) =  4/14 · 3/13 = 12/182 = 0'065 = 6.5%
P(Â) · P(E) =  10/14 · 10/13 = 100/182 = 0'549 = 54.9%
P(Â) · P(Ê) = 10/14 · 3/13 = 30/182 = 0'164 = 16.4%


Por lo tanto


1) 21.9% ' De sentarnos atrás y con alguien que nos cae bien.
2) 6.5% ' De sentarnos atrás y con alguien que nos cae mal.
3) 54.9% ' De sentarnos alante y con alguien que nos cae bien.
4) 16.4% ' De sentarnos alante y con alguien que nos cae mal.


Para ser más exactos habría que sacar todos los decimales posibles, pero creo que con un decimal vale.
Recordad que la probabilidad es inexacta y que aunque tengas el 99% puedes tener mala suerte.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones que no se suelen ver mucho.. pero tienen una formula sencilla.
a estas les falta los términos de la primera y tercera potencia. Su forma general es:

Ax⁴ + bx² + c = 0


Para resolver esta ecuación simplemente se hace un cambio de variable.
El cambio de variable consiste en lo siguiente ; 
Dar un valor a la incógnita, con otra incógnita es decir..


ax⁴ + bx² + c = 0 


x² = z    ¿Por qué z? Porque nos da la gana, (Puede ser cualquier letra)
x⁴ =z²   ' Si x² es z, x⁴ es z² es de lógica..


Y aplicamos el cambio.


az² + bz + c = 0


¿Qué es lo que tenemos? Una ecuación de segundo grado. Solo queda resolverla.


Ejemplo : x⁴ − 10x² + 9 = 0


Diremos que x² es T 
Por lo tanto x⁴ es T²


t²  − 10t + 9 = 0   ' Se resuelve la ecuación de segundo grado completa.

Ahora solo queda sustituir el valor de T1 y T2.


x²  = t1     ' Se sustituye t1 por su valor que es 9.

x²   = 9      ' La potencia pasa a raíz

x = √9       ' Raíz de 9 es 3.
x = 3        

Y Ahora vamos con la otra solución.

x² = t2      ' Se sustituye t2 por su valor que es 1. 
x² = 1       ' La potencia pasa a raíz
x = √1    ' Raíz de 1 es 1.
x = 1  

Conclusión, los valores de x posibles son.
X1 = 3
X2 = -3
X3 = 1
X4 = -1

IMPORTANTE. Tanto el resultado de x, positivo o negativo sirve debido a que un número elevado al cuadrado (o elevado a exponente par) pasa a ser positivo.

Por eso la ecuación tiene 4 incógnitas, hay casos en la que la ecuación solo tiene una incógnita y es debido a que esta es doble, es decir el  valor de t1 y t2 Son los mismos.

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación algebraica de segundo grado. Es decir que la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. 




La expresión general de una ecuación cuadrática es :

ax² + bx² + c = 0


Dónde A, B y C Son coeficientes (Números)


Hay una clasificación general..


Completa:
ax² + bx² + c = 0


Incompletas.
ax²+bx = 0
ax² + c = 0
ax² = 0


Y cada una de ellas tiene una solución diferente. Empecemos en orden de más fácil a más difícil 

Ax² = 0

Esta es incompleta. y se soluciona de la siguiente manera. 

Ejemplo: 3x² = 0

               x = 0

                                                           X = 0

La ecuación incompleta de está forma SIEMPRE da 0. Esa es su única solución  ¿Fácil eh?

Siguiente ; 

Ax² + c = 0

Esta es incompleta y se soluciona de la siguiente manera.

Ejemplo:   2x² - 125 = 0 

                 2x² = 125     ' El 125 lo pasamos a la derecha y queda positivo.

                 2x = √125    ' La potencia se transforma en raiz cuadrada.

                 2x = 25        ' Se halla la raiz cuadrada

                 x = 25/2      ' Se divide y como no da exacto se deja así.

X = 25/2

Y así es como se saca la ecuación cuya forma pertenece a esta.

Siguiente ;


Ax² +bx = 0


Está ecuación tiene dos soluciones, una que siempre dará 0, y otra que depende el caso dará un valor diferente.

Ejemplo :  2x² + 2x = 0
                 x·(2x+2) = 0      ' Se saca factor común
                 x1 = 0                ' Recordad tiene 2 soluciones y una siempre es cero.

Ya tenemos una solución. X1 = 0
Pero ahora debemos sacar la solución de X2
para eso vamos a la ecuacion que hicimos al sacar factor común y la resolvemos como ecuación de primer grado.
                2x + 2 = 0        
                2x = 2
                x = 2/2
                x2 = 1                    


Conclusión;
Las dos soluciones son:
X1 = 0
X2 = 1

Bueno y estás son las 3 formas de resolver los 3 tipos de incompletas que hay.

Y Ahora, la última , la más complicada y la que exige aprender una formula concreta para sacar el resultado.

Completa :

Ax² + bx²  + c = 0

Ejemplo :  2x² -7x +3 = 0
Primero que todo debemos aprendernos la siguiente formula :


               





Una vez aprendida tenemos que sustituir cada letra por su valor

2x² -7x +3 = 0
A = 2
B = -7
C = 3

Sustituimos y resolvemos.

La ecuación tiene dos soluciones. cuando ya hallamos resuelto la raiz cuadrada nos quedará :

b + y - n/2

Sea 'N' el número que dio después de haber hecho la raíz.
Entonces en este caso es:
X1 = 7 + 5/2 = 12/4 = 3
X2 = 7 - 5 /2 = 2/4 -> Simplificamos 1/2

Y listo ya tenemos los dos resultados. Así de fácil..

Ejercicios de ecuaciones.

Nota ; Si en una ecuación aparece algo del estilo : 2x el dos multiplica a x.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

A) x + 4 = 9
B) x + 5 = 5
C) x + 2 = 1
D) 2x + 4 = x + 19
E) 4x = 20

Solución :


A) x + 4 = 9
     x = -4 + 9
     x = 5

B) x + 5 = 5
     x = -5 + 5
     x = 0

C) x + 2 = 1
     x = -2 + 1
     x = -1

D ) 2x + 4 = x + 19
      2x - x = 19 - 4
      x = 15

E) 4x = 20
     x = 20/4
     x = 5

Ecuaciones

Primero que todo hay que saber que es una ecuación.

Una ecuación es: 
Es una igualdad entre dos expresiones, donde desconocemos el resultado de un número y como lo desconocemos se le asigna una letra esa letra se denomina 'incognita'.

Ejemplo :   x + 2 = 8

X es un número el cual no sabemos. y mediante una ecuación de primer grado se halla la respuesta a 'x'.

¿Cómo resolvemos una ecuación?


Primero que todo hay que tener en cuenta, que antes y después del igual tenemos operaciones, y que esa operación recibe un nombre

Ejemplo ; x+2 = 8

x+2 Es el primer miembro. ' Debido a que está antes que el igual
8 Es el segundo miembro.  ' Debido a que está después que el igual


Para resolver una ecuación debemos tener las incógnitas en el primer miembro y los números en el segundo miembro.  Si un número esta sumando en el primer miembro pasa a restar en el segundo miembro.

Ejemplo x+2 = 8

Incognitas a un lado números al otro. x = -2+8

¿Por qué -2? Porque en el primer miembro está sumando. y al pasarlo al segundo miembro pasa a restar.

Ahora hay que tener en cuenta lo siguiente:
º Si un número esta sumando al pasarlo al otro miembro pasa restando.
º Si un número esta multiplicando al pasarlo al otro miembro pasa a dividir

Bueno entonces hallemos la solución ;

x+2 = 8
x = -2 + 8
x = 6

Por lo tanto, X es 6.

Hacer la prueba. 


Una vez tengamos el resultado de x, si no estamos seguro, lo que hacemos es lo siguiente
Vamos a la ecuación que nos daban sin resolver. 'x + 2 = 8' y sustituimos x por el valor que nos dio
en este caso 6.

6+2 = 8

Correcto. Por lo tanto 'X' es 6.

Probabilidad

La probabilidad es algo, que por muy elevada que sea siempre se puede contradecir, tu puedes tener 99 bolas rojas y 1 azul, coger una al azar sin mirar, y sin quererlo coger la bola azul.

Dicho esto empecemos..
La formula de la probabilidad es la siguiente

P(A) = Número de sucesos favorables / Número de sucesos totales * 100

Sea 'P(A)' probabilidad.
Número de sucesos favorables, -> Ejemplo (''Tengo 2 bolas rojas y 3 azules, quiero sacar una bola roja'') Como el objetivo es sacar al menos una bola roja.. y tenemos 2, 2 es el suceso favorable.
Número de sucesos totales, -> Ejemplo; (''Si tengo 2 bolas rojas y 3 azules y necesito sacar rojas, tengo 2 rojas favorables'') En total hay 5 bolas. Esas 5 son los sucesos totales.


Problema; Una caja tiene 50 bolas azules y 30 rojas. ¿Cuanto es la probabilidad de sacar 1 bola roja?

Solución ; P(A) = Número de sucesos favorables / Número de sucesos totales * 100
(A) ; Probabilidad de sacar 1 Bola roja
P(A) = 30/80*100 = 0'375*100 = 37'5%
Entonces conclusión que sacamos.
A que era la probabilidad de sacar 1 bola es igual a 37'5%


Pero.. pongamos lo más difícil ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 Bolas rojas?

Hemos dicho que 1 es igual a 30/80
Entonces lo único que debemos hacer es elevarlo al cuadrado
-> P(A) = (30/80)² = 900/6400 = 0'14 = 14%

Presentación

¿Qué es MathLDE? Math LDE Es un blog creado por Omar LDE cuya función es , enseñar, especialmente Matemáticas, pero principalmente 2 temas muy interesantes. Ecuaciones y Probabilidad. Sin embargo la verdadera función del blog es quedar satisfecho conmigo mismo. Las siglas L.D.E Significan L-lauliet, Deneuve, Eran Coild, Los nombres corresponden a los tres detectives más famosos del anime Death Note, y los tres son una sola persona.

¿Cada cuanto tiempo se actualiza el blog? Bien, esto es algo que no puede ser predicho pero si aproximado, quiero decir, quizás yo diga cada una semana una nueva actualización, pero sería mentir, porque ni yo mismo sé cuando actualizare, de modo que.. cuando tenga ganas. 

Dicho esto, sin más dilación, que comiencen las entradas al blog..